篇一:大学数学习题三
习题三
1. 确定下列函数的单调区间:
(1) y?2x3?6x2?18x?7;
解:所给函数在定义域(??,??)内连续、可导,且
y??6x2?12x?18?6(x?1)(x?3)
可得函数的两个驻点:x1??1,x2?3,在(??,?1),(?1,3),(3,??)内,y?分别取+,–,+号,故知函数在(??,?1],内单调减少. (2) y?2x?8 (x?0); x
8,则函数2x解: 函数有一个间断点x?0在定义域外,在定义域内处处可导,且y??2?
有驻点x?2,在部分区间(0,2]内,y??0;在内单调减少.
(3) y?ln(x?;
解: 函数定义域为(??,??
),y???0,故函数在(??,??)上单调增加.
(4) y?(x?1)(x?1)3;
解: 函数定义域为(??,??),y??2(x?1)(2x?1),则函数有驻点: x??1,x?21,在211(??,]内, y??0,函数单调减少;在上y??0,函数单调增加;在上y??0,函数单调减少. (6) y?x?sin2x;
解: 函数定义域为(??,??),
?x?sin2x, x?, n?Z,
?2
???x?sin2x, x?, n?Z.
1) 当x?时, y??1?2cos2x,则
y??0?cos2x??1
2?x?;
y??0?cos2x??ππ
2?x?.
2) 当x?时, y??1?2cos2x,则
y??0?cos2x?1π
2?x?
y??0?cos2x?1π
2?x?. 综上所述,函数单调增加区间为 (k?z), 函数单调减少区间为 (k?z).
(7) y?(x?2)5(2x?1)4.
解: 函数定义域为(??,??).
y??5(x?2)4(2x?1)4?4(x?2)5(2x?1)3?2
?(2x?1)3(18x?11)(x?2)4 函数驻点为x1??1
2,x11
2?18,x3?2, 在(??,?1
2]内, y??0,函数单调增加, 在上, y??0,函数单调减少, 在上, y??0,函数单调增加,
在,,内有一不可导点x2?1,433335时, y??0;当x?时, y??0,故x1?为极大值点,且极大值为y()?. 44444因为函数定义域为x?1,故x?1不是极值点.
当x?
(7) y?;
解
: y??,令y??0,得驻点x?12. 5
当x?121212时, y??0;当x?,y??0,
故极大值为y()?5553x2?4x?4(8) y?; x2?x?1
解: y?3?x?1?x(
x2?x?1,y??x?2)
(x2?x?1)2,
令y??0,得驻点x1??2,x2?0. ???(?2x?2)(x2?x?1)?2(2x?1)(x2y?2x)
(x2?x?1)3
y??x??2?0,y??x?0?0,
故极大值为y(0)?4,极小值为y(?2)?8
3.
(9) y?excosx;
解: y??ex(cosx?sinx),
令y??0,得驻点xπ
k?kπ?4(k?0,?1,?2,?).
y????2exsinx,y??x?2kπ?π?0,y??x?(2k?1)π?π?0, 44
π2kπ?π
故x2k?2kπ?
4 为极大值点,其对应的极大值为y(x2k)?24; xk?1)π?
π(2k?1)π?π2k?1?(24
4 为极小值点,对应的极小值为y(x2k?1)??2. 1
(10) y?xx;
1
解: y??xx(111?lnx
xlnx)??xx
x2,
令y??0,得驻点x?e.
当x?e时, y??0,当x?e时, y??0, 1
故极大值为y(e)?ee.
(11) y?2ex?e?x;
解: y??2ex?e?x,令y??0,得驻点x??ln2
2.
y???2ex?e?x,y??x??ln2?0,
2
篇二:大学数学习题十一答案
阿习题十一
1.设L为xOy面内直线x=a上的一段,证明:?P?x,y?dx?0其中P(x,y)在L上连续.
L证:设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段, 则 L:?
?x?a?y?t
b1?t?b2,始点参数为t=b1,终点参数为t=b2故
?
L
P?x,y?dx?
?
b2b1
?da?
P?a,t????dt?
dt??
?
b2b
P?a,t??0dt?0
2.设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线,证明:?P?x,y?dx?
L
?
ba
P?x,0?dx,
其中P(x,y)在L上连续. 证:L:?
?x?x?y?0
a?x?b,起点参数为x=a,终点参数为x=b.
故?P?x,y?dx?
L
?
ba
P?x,0?dx
3.计算下列对坐标的曲线积分:
(1)??x2?y2?dx,其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;
L
222
(2)?其中L为圆周(x-a)+y=a(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界xydx?
L
(按逆时针方向绕行);
(3)?ydx?xdy,其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint上对应t从0到的一段弧;
L
π
2
(4)??
?x?y?dx??x?y?dy
x?y
2
2
L
,其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行);
(5)?x2dx?zdy?ydz,其中Γ为曲线x=kθ,y=acosθ,z=asinθ上对应θ从0到π的
?
一段弧;
(6)?x3dx?3zy2???x2y?dz,其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线;
?
(7)?C依次为点(1,0,0),(0,1,0),?dx?dy?ydz,其中Γ为有向闭拆线ABCA,这里A,B,
L
(0,0,1);
(8)??x2?2xy?dx??y2?2xy?dy,其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧.
L
解:(1)L:y=x,x从0变到2,
2
261
2
??x
2
2
L
?y
2
?dx??
2?x?x4
?dx??1
1?560
?x3?x5?3
5???
?015(2)如图11-1所示,L=L1+L2.其中L1的参数方程为
图11-1
?x?a?acost
?
0?t?π
?y?asint
L2的方程为y=0(0≤x≤2a)
故 ??L
xydx?
?Lxydx?
1?
Lxydx
2
??π0a?1+cost?asint??a?acost??dt??
2a0
0dx
?
?
π0
a
3
??sin2
t??1?cost?dt
??a3??
π2
sintdt?
?
π2
sintdsint
?
??
π2
a
3
π
(3)?ydx?xdy?
2L
?
0??Rsint??Rsint??RcostRcost??dt
π
?R
2
?
20
cos2tdt
π
?R2?1
?2?sin2t?2?
?0?0
(4)圆周的参数方程为:x=acost,y=asint,t:0→2π. 故 ??
?x?y?dx??x?y?dy
L
x2
?y
2
?1a2
?
2π0???acost?asint???asint???acost?asint?acost??dt
?
1
2π
2
a
2
?0
??a?dt
??2π
262
(5)
?2
?
xdx?zdy?ydz
??π
2
20
?k
??k?asin??a??sin???acos?acos??d?
?
?π
3
2
2
?k
??a
?d?
??1π
3?3?a2???k?3??0?13
3
kπ3
?a2
π
?x?3t
(6)直线Γ
的参数方程是?
?y?2t t从1→0.
??
z?t故
?3
2
2
?x
dx?3zydy???xy?dz
??0
?1?27t3?3?3t?4t2?2???9t2?2t???dt?
?
87t3
1
dt10?87?4
t
41
??
874
(7)??AB?BC?CA(如图11-2所示
)
图11-2
AB:?y?1?x
?
?
z?0,x从0→1 ?
AB
dx?dy?ydz?
?
1
??1???1???dx??2.
BC:?x?0
?
,z从0→1 ?
y?1?z 263
?
dx?dy?ydz?
1?zBC
?
1??0???1??????dz
?
?1
?2?z?dz
??
11
2??2z?z?2?
?0?3
2
CA:?y?0
?
,?
z?1?xx从0→1 ?
1
CA
dx?dy?ydz?
??1?0?0?dx?1.
故
??
dx?dy?ydz
L
?
??
?dx?dy?ydz
AB?
?BC?
CA
????2??
312
?1?
2
(8)
??x
2
?2xydx?2
xyL
??y?2?dy
??1
?2
?2x?x
2
2
2x??1??
x???x
4
?2x?x
???
dx?
?1
?x
2
?2x3
?2x5
?4x
4
?1
?dx
??
1415
4.计算??x?y?dx??y?x?dy,其中L是
L
(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧;
(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;
(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线;(4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.
解:(1)L:??
x?y2
,y:1→2,故
?y?y
?L
?x?y?dx??y?x?dy
??2
?y2
1
??
?y??2y??y?y2
??1??
dy?
?2
3
?y2
?y?dy
1
?2y
2
??141312?
?2y?y?y?32?
?1?343
(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2,y:1→2
264
故
??x?y?dx??y?x?dy
L
??
??3y?2?y??3??y?3y?2???dy??
1
2
??10y?4?dy
1
2
2
2
????5y?4y?1
?11
(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L1,从点(1,2)到(4,2)的线段为L2,则L=L1+L2.且
L1:?
?x?1?y?y
,y:1→2;L2:?
?x?x?y?2
,x:1→4;
故
??x?y?dx??y?x?dy
L1
??
??1?y??0??y?1???dy??
1
2
?
2
1
?y2?
?y?1?dy???y?
?2?1
2
?
12
??x?y?dx??y?x?dy
L2
???
??x?2???2?x??0??dx??
1
4
?
4
1
2??1
?x?2?dx???x?2??
?2?1
4
272
从而
??x?y?dx??y?x?dy
L
??
??
12
L1
??
L2
??x?y?dx??y?x?dy
?14
?
272
(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0,终点(4,2)对应的参数t2=1,故
??x?y?dx??y?x?dy
L
2
??
3t????
1
2
?t?2??4t?1????t?t??2t?dt
??5t?9t?2?dt
2
1
??10t
1
3
?1045392???t?t?t?2t?
32?4?0?323
5.设质点受力作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)
沿椭圆移动到B(0,b),求力所做的功.
265
篇三:大学数学习题七答案
习题七
1. 在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置: A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4); D(3,4,0);E(0,4,3); F(3,0,0).
解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限;
点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上.
2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢? 答: 在xOy面上的点,z=0;
在yOz面上的点,x=0; 在zOx面上的点,y=0.
3. x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢? 答:x轴上的点,y=z=0;
y轴上的点,x=z=0;
z轴上的点,x=y=0.
4. 求下列各对点之间的距离:
(1) (0,0,0),(2,3,4);(2) (0,0,0), (2,-3,-4); (3) (-2,3,-4),(1,0,3); (4) (4,-2,3), (-2,1,3). 解:(1
)s?
(2) s?(3) s?(4) s?
?
?
?
?.
5. 求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离.
解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5). 故
s0?
sx?
?
?
sy?
sz?
?
?5.
6. 在z轴上,求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解:设此点为M(0,0,z),则
(?4)?1?(7?z)?3?5?(?2?z)
2
2
2
2
2
2
解得z?
149
149
即所求点为M(0,0,).
153
7. 试证:以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明:因为|AB|=|AC|=7.且有
222
|AC|+|AB|=49+49=98=|BC|. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证:(a?b)?c?a?(b?c). 证明:利用三角形法则得证.见图
7-1
图7-1
9. 设u?a?b?2c, v??a?3b?c.试用a, b, c表示2u?3v. 解:
2u?3v?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c)
?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c
10. 把△ABC的BC边分成五等份,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各分点与A连接,试
????????????????????????????
以AB?c,BC?a表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.
??????????????1解:D1A?BA?BD1??c?a
5
??????????????2D2A?BA?BD2??c?a
5
??????????????3D3A?BA?BD3??c?a
5
??????????????4D4A?BA?BD4??c?a.
5
?????
11. 设向量OM的模是4,它与投影轴的夹角是60°,求这向量在该轴上的投影.
解:设M的投影为M?,则
??????????1
PrjuOM?OMcos60??4??2.
2
12. 一向量的终点为点B(2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量的起点A的坐标.
解:设此向量的起点A的坐标A(x, y, z),则
????
AB?{4,?4,7}?{2?x,?1?y,7?z}
解得x=-2, y=3, z=0
故A的坐标为A(-2, 3, 0).
154
13. 一向量的起点是P1(4,0,5),终点是P2(7,1,3),试求:
??????????
(1) P1P2在各坐标轴上的投影;(2) P1P2的模;
??????????
(3) P1P2的方向余弦; (4) P1P2方向的单位向量. ?????
解:(1)ax?PrjxP1P2?3, ?????
ay?PrjyP1P2?1,
?????
az?PrjzP1P2??2.
?????(2) P1P2?
?
ax
(3) cos???
P1P2ay
cos???
P1P2
3
azcos??
?
P1P2
?????
P1P2(4) e0???P1P2
?
j?
.
14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方
向余弦.
解:R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)
|R
|?cos??
? cos??
cos??
15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模,并分别用单位向量ea,eb,ec来表达向量a, b, c.
解:|a
|??
|b
|?|c
|?
?
?3
a?
a, b?b, c?3ec.
155
16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.
解:a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.
17. 向量r与三坐标轴交成相等的锐角,求这向量的单位向量er. 解:因?????,故3cos2??
1 ,cos??
3
, cos???
3
(舍去)
则er?{cos?,cos?,cos?}?3
3
3
?
3
i?j?k).
????????????
18. 已知两点M1(2,5,-3),M2(3,-2,5),点M在线段M1M2上,且M1M?3MM2,求?????
向径OM的坐标.
?????
解:设向径OM={x, y, z}
??????
M1M?{x?2,y?5,z?3}
??????
MM2?{3?x,?2?y,5?z}
????????????
因为,M1M?3MM2
11?x??4x?2?3(3?x)??
1??
所以,?y?5?3(?2?y) ? ?y??
4?z?3?3(5?z)?
??z?3
??
?????111
故OM={,?,3}.
44
????236
19. 已知点P到点A(0,0,12)的距离是7,OP的方向余弦是,,,求点P的坐标.
777
????
2222
解:设P的坐标为(x, y, z), |PA|?x?y?(z?12)?49
得x?y?z??95?
24z cos??
222
?
67
? z1?6, z2?
57049
又cos??
?
27
? x1?2, x2?
19049
156
cos??
?
37
? y1?3, y2?
28549
故点P的坐标为P(2,3,6)或P(20. 已知a, b的夹角??
2π3
190285570
). ,,
494949
,且a?3,b?4,计算:
(1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b). 解:(1)a·b =cos??|a|?|b|?cos
2π3
?3?4??
12
?3?4??6
(2) (3a?2b)?(a?2b)?3a?a?6a?b?2b?a?4b?b
?3|a|?4a?b?4|b|
2
2
?3?32?4?(?6)?4?16
??61.
21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算:
(1)a·b; (2) (2a-3b)·(a + b); (3)|a?b|2 解:(1)a?b?4?6?(?2)?(?3)?4?2?38 (2) (2a?3b)?(a?b)?2a?a?2a?b?3a?b?3b?b
?2|a|?a?b?3|b|
2
2
2
2
2
2
2
2
?2??38?3 ?2?36?38?3?49??113
(3) |a?b|?(a?b)?(a?b)?a?a?2a?b?b?b?|a|?2a?b?|b|
?36?2?38?49?9
222
????22. 已知四点A(1,-2,3),B(4,-4,-3),C(2,4,3),D(8,6,6),求向量AB在
????
向量CD上的投影.
????????
解:AB={3,-2,-6},CD={6,2,3}
????????????AB?CD4????AB?PrjC???.
D7CD23. 设重量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线移动到点M2(1,4,2),计算重力所作
的功(长度单位为m). 解:取重力方向为z轴负方向, 依题意有
f ={0,0, -100×9.8}
157